Классификационная матрица. Виды матриц

Понятие / определение матрицы. Виды матриц

Определение матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

Основные понятия матрицы: Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m=n, матрица называется квадратной , а число m=n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матрицы будут применяться обозначение: Хотя иногда в литературе встречается обозначение: Впрочем, для краткого обозначения матрицы часто используется одна большая буква латинского алфавита, (например, А), либо символ ||aij||, а иногда и с разъяснением: A=||aij||=(aij) (i=1,2,…,m; j=1,2,…n)

Числа aij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.

Например, матрицаэто матрица порядка 2×3, ее элементы a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, …

Итак, мы ввели определение матрицы. Рассмотрим виды матриц и дадим соответствующие к ним определения.

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n.

В случае квадратной матрицывводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол.Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Данный материал взят с сайта highermath.ru

Билет 17:

Вопрос 1: Определение параболы. Вывод уравнения:

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Вопрос 2: Теорема Коши:

Теорема: Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что

Геометрический смысл : Данные теоремы состоят в том, что внутри есть точка t 0 , угловые коэффициенты в которой вычисляются по равенству:

Доказательство. Докажем сначала, что , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы введём вспомогательную функцию

Функция , очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при получается . Покажем, что и :

Значит, функция удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что .

Вычислим теперь производную функции :

Получаем, что

откуда получаем утверждение теоремы:

Замечание: Можно считать функции и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию , соединяющую начальную точку с конечной точкой .(Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия .)

Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь - это угловой коэффициент касательной к линии в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии найдётся точка такая, что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это - то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия была задана явной зависимостью , а в теореме Коши - зависимостью, заданной в параметрической форме.

Билет 18:

Вопрос 1: Понятие матрицы. Классификация матриц:

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =

Классификация матриц:.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение . Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение . Матрица вида: = E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица

Определение . Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей .

Вопрос 2: Теорема Лагранжа:

Теорема: Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

Геометрический смысл: Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и - это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Отношение конечных приращений и - это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной () будет равен углу наклона хорды (). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки и - это график линейной функции . Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, , то

Доказательство теоремы Лагранжа. Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию , то есть

Заметим, что и (по построению функции ). Так как линейная функция дифференцируема при всех , то функция удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что Шпаргалка по философии: ответы на экзаменационные билетыШпаргалка >> Философия

Шпаргалка по философии: ответы на экзаменационные билеты... живописи, скульптуры и архитектуры, работы по математике , биологии, геологии, анатомии посвящены человеку... самодисциплинироваться, ориентировать себя на высшие цели. Основные мысли древневосточной...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра « Информатика и прикладная математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика

Направление подготовки (специальность): 040400Социальная работа (уровень бакалавриата)

Профиль образовательной программы Социальная работа

Форма обучения: заочная

Оренбург 2016 г.

1. Конспект лекций ……………………………………………………...

1.1 Лекция № 1 ……………………....................................

1.2 Лекция № 2 …………………………………….

1.3 Лекция № 3 ………………………………………

1.4 Лекция № 4 ………………………………………………….

1.5 Лекция № 5 ……………………

1.6 Лекция № 6 ………………………………………..

1.7 Лекция № 7 ……………………………………………………………………..….

1.8Лекция № 8 .……………………...…………………………….

Лекция № 9

2. Методические указания по проведению практических занятий ………

2.1 Практическое занятие №ПЗ -1 ………………….

2.2 Практическое занятие №ПЗ -2 ……………………

2.3 Практическое занятие №ПЗ -3 ……………………...

2.4 Практическое занятие №ПЗ -4 ……………………...

2.5 Практическое занятие №ПЗ -5 ……………………..

2.6 Практическое занятие №ПЗ -6 ………………………………………………….

2.7 Практическое занятие №ПЗ -7 …………………………………………………….

2.8 Практическое занятие №ПЗ -8 …………………………………………………...

2.9 Практическое занятие №ПЗ -9 ……………………………………………………...

2.10 Практическое занятие №ПЗ -10 …………………..

2.11 Практическое занятие №ПЗ -11 ……………………..

2.12 Практическое занятие №ПЗ -12 ………………………………………………..

2.13 Практическое занятие №ПЗ -13 ………………………………………………….

2.14 Практическое занятие №ПЗ -14-15 ………………………………………………

2.15 Практическое занятие №ПЗ - 16 ………………

2.16Практическое занятие №ПЗ - 17 ………………

2.17Практическое занятие №ПЗ - 18 ………………

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

1.1Лекция 1 (2 ч.)

Тема:Элементы теории матиц и определителей. Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии

1.1.1 Вопросы лекции:

1.Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.

2. Определители 2-го и 3-го порядка, способы вычисления.

3. Системы линейных уравнений, методы решения.

4. Уравнение прямой на плоскости, способы задания прямой на плоскости.

1.1.2. Краткое содержание вопросов:

Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.

Матрицей называют таблицу, состоящую из n строк и m столбцов. Элементами матрицы могут быть числа или иные математиче­ские объекты.

A= B= C=

Прямоугольная таблица, содержащая т строкип столбцов действительных чисел называется числовойматрицей.

А m ´ n =
.

Числа а ij , составляющие матрицу, называются ее элементами , где i=1,2,…m номер строки, j=1,2,…n номер столбца.

Матрицы обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…, элементы строчными буквами.

Если число строк и столбцов одной матрицы равно числу строк и столбцов другой матрицы, то они называются одноразмерными матрицами.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей . Квадратную матрицу размером n´n называют матрицей n-ого порядка .

А 2 ´ 2 = - квадратная матрица 2-ого порядка

а 11 , а 22 элементы главной диагонали

а 12, а 21 элементы побочной диагонали

А 3 ´ 3 = квадратная матрица 3-его порядка

а 11 , а 22 , а 33 элементы главной диагонали

а 13, а 22 , а 31 элементы побочной диагонали

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей.

В=

Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.

Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны 1, называется единичной матрицей.

Е= единичная матрица 3-его порядка

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей (0).

А= ; В=

Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е.(5) 1 ´ 1 есть 5.

Одноразмерные матрицы равны между собой , если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Квадратная матрица А -1 называется обратной по отношению к матрице А. тогда и только тогда, когда А*А -1 =А -1 *А=Е

Матрица - это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.

Нулевой тип

Все компоненты этого вида матрицы - нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.

Квадратный тип

Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы "квадрат". Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2x2), четвертого порядка (4x4), десятого (10x10), семнадцатого (17x17) и так далее.

Вектор-стобец

Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.

Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.

Диагональный тип

Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в левом верхнем углу, а заканчивается элементом в правом нижнем соответственно. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.

Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.

Канонический тип

Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.

Треугольный тип

Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.

В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.

В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.

Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные "ступени" из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.

Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.

Приведение к треугольному виду

Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно "сохранить" главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.

Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.

Задание 1

Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.

Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.

Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы - с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.

Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.

Осталось только последнее значение - элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.

Выполним проверку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Значит, ответ к заданию: -22.

Задание 2

Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.

Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.

Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, - с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.

Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.

Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 - элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.

Снова начнем с нижней части - с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) - элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.

В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число - 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.

После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.

Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.

Приведение к ступенчатому виду

При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее "востребованным", чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.

Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.

Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.

Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3x3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.

Начнем его с элемента левого столбца третьей строки - числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 - элемент второго столбца третьей строки - обратились в нуль.

Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.

Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) - 3. Ответ к заданию: 3.

Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.

Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.

Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3x4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла - числа (-1).

Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию - 3.

Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.

На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!

Хотя обычно исследователи обращаются к классификации как к средству предсказания принадлежности к классу «неизвестных» объектов, мы можем использовать ее также для проверки точности процедур классификации. Для этого возьмем «известные» объекты (которыми мы пользовались при выводе классифицирующих функций) и применим к ним правила классификации. Доля правильно классифицированных объектов говорит о точности процедуры и косвенно подтверждает степень разделения классов. Можно составить таблицу, или «классификационную матрицу», описывающую результаты. Это поможет нам увидеть, какие ошибки совершаются чаще.

Таблица 12. Классификационная матрица

Таблица 12 представляет собой классификационную матрицу для данных о голосовании в сенате. Шесть переменных Бардес правильно предсказывают распределение по фракциям всех сенаторов (кроме Кейпхарта), чья фракционная принадлежность «известна». Точность предсказания в этом случае - 94,7% (сумма правильных предсказаний - 18, поделенная на общее число «известных» объектов). Мы также видим, что ошибки в этом примере связаны с плохим разделением групп 1 и 4. В нижней строке табл. 12 дано распределение по группам «неизвестных» объектов. Это те сенаторы, чью фракционную принадлежность Бардес не смогла определить по имеющимся у нее данным. Ее главной целью было использовать дискриминантный анализ для классификации позиций этих сенаторов по результатам их голосования, после чего она продолжила исследование отношения сената к различным вариантам помощи иностранным государствам.

Процент «известных» объектов, которые были классифицированы правильно является дополнительной мерой различий между группами. Им мы воспользуемся наряду с общей Л-статистикой Уилкса и каноническими корреляциями для указания количества дискриминантной информации, содержащейся в переменных. Как непосредственная мера точности предсказания это процентное содержание является наиболее подходящей мерой дискриминантной информации. Однако о величине процентного содержания можно судить лишь относительно ожидаемого процента правильных классификаций, когда распределение по классам производилось случайным образом. Если есть два класса, то при случайной классификации можно ожидать 50% правильных предсказаний. Для четырех классов ожидаемая точность составит только 25%. Если для двух классов процедура классификации дает 60% правильных предсказаний, то ее эффективность довольна мала, но для четырех классов такой же результат говорит о значительной эффективности, потому что случайная классификация дала бы лишь 25% правильных предсказаний. Это приводит нас к -статистике ошибок, которая будет стандартизованной мерой эффективности для любого количества классов:

где - число правильно классифицированных объектов, а - априорная вероятность принадлежности к классу.

Выражение представляет собой число объектов, которые будут правильно предсказаны при случайной классификации их по классам пропорционально априорным вероятностям. Если все классы считаются равноправными, то априорные вероятности полагаются равными единице, деленной на число классов. Максимальное значение -статистики равно 1 и оно достигается в случае безошибочного предсказания. Нулевое значение указывает на неэффективность процедуры, -статистика может принимать и отрицательные значения, что свидетельствует о плохом различении или вырожденном случае. Поскольку должно быть целым числом, числитель может стать отрицательным чисто случайно, когда нет различий между классами.