Функция вида y = kx + b называется линейной. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой необходимо и достаточно две точки.
Функция вида y = kx
Функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.
Графиком является прямая, проходящая через начало координат и располагающаяся в 1 и 3 четвертях, если k > 0, во 2 и 4 четвертях, если k < 0.
k - называется коэффициентом пропорциональности и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. k = tg б
Прямая у = х является биссектрисой 1 и 3 координатных углов, а прямая у = х является биссектрисой 1 и 4 координатных углов.
Пример. Построить графики функций у = 2х, у = х, у = 2х.
Функция прямая пропорциональная зависимость, графикам являются прямые.
Так как графики проходят через начало координат, то одна из точек имеет координаты (0; 0), поэтому можно взять еще одну точку.
у = х, у = 2х, у = 2х,
х = 1, у = 1; х = 1, у = 2; х = 1, у = 2.
Функция вида y = kx + b
Графиком функции является прямая, у = kx, смещенная параллельным переносом по оси У на b единиц, в сторону согласно знаку b.
Построение можно вести по двум точкам или параллельным смещением.
Пример. Построить график функции у = 3х 4.
Функция линейная, графиком является прямая.
Построение можно вести параллельным переносом прямой у = 3х на 2 единицы вниз по оси У.
Функция вида у = b
Графиком функции является прямая, параллельная оси Х, проходящая через точку с координатами (0; b).
Построить график функции у = 3.
Функция линейная, графиком является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3)
Уравнение прямой х = с
Прямая х = с не является функцией. Однако, графиком является прямая, параллельная оси О У и проходящая через точку с координатами (с; 0).
Важно!
Функцию вида «y = kx + b » называют линейной функцией.
Буквенные множители «k » и «b » называют числовыми коэффициентами .
Вместо «k » и «b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо «k » и «b » стоят числа.
Примеры функций типа «y = kx + b ».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b ».
Рассматривая функцию «y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента «b » в функции нет.
Числовый коэффициент «b » присутствет в функции типа «y = kx + b » всегда. В функции «y = 0,5x » числовый коэффициент «b » равен нулю .
Как построить график линейной функции
«y = kx + b »Запомните!
Графиком линейной функции «y = kx + b » является прямая .
Так как графиком функции «y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией .
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
«у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.Для примера построим график функции «y = −2x + 1 ».
Найдем значение функции «y » для двух произвольных значений «x ». Подставим, например, вместо «x » числа «0 » и «1 ».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо «x », лучше брать числа «0 » и «1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
Полученные значения «x » и «y » — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1 » в таблицу.
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1 ».
Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b »Рассмотрим задачу.
Построить график функции «y = 2x + 3 ». Найти по графику:
- значение «y » соответствующее значению «x » равному −1; 2; 3; 5 ;
- значение «x », если значение «y » равно 1; 4; 0; −1 .
Вначале построим график функции «y = 2x + 3 ».
Используем правила, по которым мы выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для «x ». Для удобства расчетов выберем числа «0 » и «1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3 ».
Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3 ».
Требуется найти значение «y », соответствующее значению «x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .- Ox » к нулю (x = 0) ;
- подставить вместо «x » в формулу функции ноль и найти значение «y »;
- Oy » .
Подставим вместо «x » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.
Y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Oy ».Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью «Ox » (осью абсцисс) нужно:- приравнять координату точки по оси «Oy » к нулю (y = 0) ;
- подставить вместо «y » в формулу функции ноль и найти значение «x »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy » .
Подставим вместо «y » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Ox ».Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».
Важно!
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox » , то приравниваем «y » к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy » , то приравниваем «x » к нулю.
Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2:
2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание!
Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):
Класс: 8
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: урок открытия нового знания.
Основные цели:
- сформировать представление о функции у = кх 2 , ее свойствах и графике;
- повторить и закрепить: сведения о функции у = х 2 , свойствах функции, известные по курсу 7 класса.
Демонстрационный материал:
1) алгоритм построения графика функции:
2) Правило определения расположения графика в зависимости от коэффициента к:
3) самостоятельная работа: На рис. изображены графики функций у = кх 2 .
Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.
4) образец для самопроверки самостоятельной работы.
Раздаточный материал:
1) карточка:
1, 2 группа:
Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х
3, 4 группа:
Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.
2) карточка для рефлексии:
ХОД УРОКА
1. Мотивация к учебной деятельности
Цели:
- организовать актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности;
- организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: продолжаем работать с функциями;
- создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Организация учебного процесса на этапе 1:
– Здравствуйте! Что интересного вы
узнали на предыдущих уроках? (Мы изучали
функцию у = | х |, график этой функции и ее
свойства.)
– Сегодня вы продолжите знакомиться с новыми
функциями.
– С каким настроением вы будете работать
сегодня? (С хорошим настроением).
– Успехов Вам!
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности
Цели:
- актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала.
- зафиксировать актуализированные способы действий в речи и в знаках;
- организовать обобщение актуализированных способов действий;
- мотивировать к выполнению индивидуального задания;
- организовать самостоятельное выполнение индивидуального задания на новое знание;
- организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания или в его обосновании.
Организация учебного процесса на этапе 2:
Проанализируйте несколько слайдов 2-5 и ответьте на вопрос:
– С каким графиком вы будете работать сегодня? (С параболой).
– Выберите, графиком какой функции является парабола у = х + 2, у = 2/х , у = х 2 ? (у = х 2 . Эту функцию мы изучали в 7-м классе).
– Назовите числовой коэффициент функции у = х 2 . (Он равен 1)
– В каких координатных четвертях лежит график функции у = х 2 , какова область определения и область значений этой функции, промежутки возрастания и убывания? (График функции у = х 2 лежит в 1 и 2 координатных четвертях или в верхней полуплоскости, область определения – вся числовая прямая, область значений – функция у = х 2 принимает неотрицательные значения; возрастает при х > 0, убывает при х< 0.)
– Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента.
– Сформулируйте тему урока. (Функция у = кх 2 , ее свойства и график).
1) На доске приготовлена таблица. Найдите соответствующие значения функций:
у = 2х 2 |
|||||
у = 4х 2 |
|||||
у = – 2х 2 |
|||||
у = – 4х 2 |
– Заполните таблицу. К доске вызываются последовательно 4 ученика.
2) График функции у = кх 2 проходит через точку А(2;8). Определите значение коэффициента. Запишите функцию. (к = 2, у = 2х 2 ).
3) По какому плану вы обычно строите графики функций? Слайд 7.
(Необходимо –
1. Заполнить таблицу значений
2. Построить точки на координатной плоскости
3. Соединить построенные точки плавной линией
4. Подписать название функции.)
– Что вы повторили?
– А теперь, используя всё, что вы только
что повторили и узнали, предлагаю вам выполнить
следующее задание:
Постройте графики функций у =
2х
2 ,
у = –
4х
2 и определите, в
каких координатных четвертях расположены
графики данных функций. Сделайте вывод как
расположен график в зависимости от коэффициента
к.
Учащиеся работают на миллиметровой бумаге.
– У кого нет результата?
– Что вы не смогли сделать? (Я не смог__________________)
– Покажите результаты, кто выполнил построение.
– Как вы можете доказать, что правильно
выполнили задание? (Я должен___________)
– Что вы будете использовать для доказательства?
(____________.)
– Что вы не смогли сделать?
– Каким правилом вы пользовались при построении?
– Что вы не можете сделать?
3. Выявление причин затруднения
Цели:
- организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием и т.д.);
- на этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний и умений, которых недостает для решения исходной задачи.
Организация учебного процесса на этапе 3:
– Какое задание вы должны были
выполнить?
– Что вы использовали при выполнении задания?
– В каком месте возникло затруднение?
– В чём причина затруднения? (У нас нет способа
определения как расположен график функции
у = кх2 в зависимости от коэффициент
к.)
4. Проблемное объяснение нового знания
Цели:
- организовать постановку цели урока;
- организовать уточнение и согласование темы урока;
- организовать подводящий или побуждающий диалог по проблемному введению нового знания;
- организовать использование предметных действий с моделями, схемами, свойствами и пр.;
- организовать фиксацию нового способа действия в речи;
- организовать фиксацию нового способа действия в знаках;
- соотнесение нового знания с правилом в учебнике, справочнике, словаре и т.д.
- организовать фиксацию преодоления затруднения.
Организация учебного процесса на этапе 4:
– Сформулируйте цель своей деятельности. (Найти способ определения как расположен график функции у = кх 2 в зависимости от коэффициента к.)
– Уточните тему урока. (Функция у = кх 2 ,ее свойства и график). Слайд 6.
– А сейчас вы будете работать в группах: Слайд 8.
1, 2 группа:
Постройте графики функций у = 2х 2 , у = 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.
3, 4 группа:
Постройте графики функций у = – 2х 2 , у = – 4х 2 и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций. Сделайте вывод относительно коэффициента к.
Каждой группе даётся карточка. (При возникновении затруднений учащиеся могут воспользоваться учебником или справочником.)
– Представьте свой вариант алгоритма.
Каждая из групп представляет свой вариант, остальные дополняют, уточняют. После согласования на доску вывешивается правило:
Учитель добавляет:
– Каждую из построенных вами линий
называют параболой. При этом точку (0;0) называют
вершиной параболы, а ось у
– осью симметрии
параболы.
От величины коэффициента к зависит «скорость
устремления» ветвей параболы вверх (вниз),
«степень крутизны» параболы.
– Что вы сейчас открыли?
– Что теперь вы должны сделать?
5. Первичное закрепление во внешней речи
Цель: организовать усвоение детьми нового способа действий с их проговариванием во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
– В каких координатных четвертях расположены графики функций у = 1/5х 2 , у = х 2 /2, у = – х 2 /2, у = 3х 2 ?
Задание выполняется в парах, одна пара работает у доски.
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу
Цели:
- организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;
- по результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок;
- по результатам выполнения самостоятельной работы создать ситуацию успеха.
Организация учебного процесса на этапе 6:
Для самостоятельной работы предлагается задание на карточке. Слайд 9.
На рис. изображены графики функций у = кх 2 .
Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.
После выполнения работы учащиеся проверяют её по образцу: Слайд 10.
– Какие правила вы использовали при
выполнении задания?
– У кого возникло затруднение – как определить
знак коэффициента к?
– У кого возникло затруднение при
определении значения коэффициента к?
– Кто задание выполнил правильно?
7. Включение в систему знаний и повторение
Цели:
- тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным материалом;
- повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках:
Организация учебного процесса на этапе 7:
Задание из ГИА-9 выполняется у доски. Слайды 11-16.
– Определите термин, который повторялся много раз сегодня на уроке.(график)
1. Графиком какой из данных функций является парабола, расположенная в нижней полуплоскости?
3. Найти область значений функции у = – 5х2
а) у = –15х 2
б) у = – 9х 2
в) у = – х 2
г) у = – 5х 2ц
э
ф
ж
5. Укажите промежутки возрастания функции у = – 5х 2
а) при х > 0
б) при х < 0
в) при х < 0
г) при х > 0ч
о
и
т
6. Укажите наименьшее значение функции у = – 5х 2
а) 0
б) не существует
в) – 5
г) 5ы
к
д
в.
Задачи по физике: Слайд 17.
Путь, пройденный телом за первые t секунд свободного падения, вычисляется по формуле: H = gt 2 /2, где g = 9,8 м/c 2 . Найдите по графику зависимости H от t :
А) расстояние, которое пролетит падающий
камень за первые 6 секунд;
Б) время, за которое камень пролетит первые 250 м?
8. Рефлексия деятельности на уроке
Цели:
- организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке;
- организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
- организовать вербальную фиксацию шагов по достижению цели;
- по результатам анализа работы на уроке организовать фиксацию направлений будущей деятельности;
- организовать проведение самооценки учениками работы на уроке;
- организовать обсуждение и запись домашнего задания.
Организация учебного процесса на этапе 8:
– Чему вы сегодня учились?
– Что нового вы узнали на уроке?
– Какие цели ставили перед собой?
– Вы достигли поставленных целей?
– Что вам помогало справиться с затруднениями?
– Проанализируйте свою работу на уроке.
Учащиеся работают с карточками рефлексии (Р).
Домашнее задание: Слайд 18.
- п. П.17 учебника читать
- №17.2,
- №17.3,
- №17.11.
Список литературы:
1. А.Г.Мордкович
. Алгебра,8 класс.В
двух частях. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений. М.:Мнемозина.2011.
2. Интернет-ресурсы.